# 挂谷猜想究竟是什么？90后女生王虹冲击菲尔兹奖！

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- Published: 2025-03-05T09:24:34.000Z
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## Summary

### 1917年挂谷提问：扫过面积从1.57到0.392再到“无限小”

1917年日本数学家**挂谷东一**提出：一根单位长度线段在平面内旋转180度，扫过面积最小是多少。最简单的绕端点旋转扫出半圆，面积约**1.57**；绕中点旋转扫出圆，降到约**0.785**。更优的是在**正三角形**内转动，面积约**0.577**，鲍尔证明任何凸区域都不能低于此值。挂谷本人用**内摆线**构造：让直径1/2的小圆在直径3/2的大圆内滚动，形成切线长均为1的图形，面积降到**π/8≈0.392**。但1928年贝西科维奇证明这个面积可以**无限小**，推翻了“存在一个正的最小值”的直觉。

### 两套构造让面积趋零：鲍尔平移与佩龙数

- **鲍尔平移**：先转一个小角度，平移，再转回，再平移。反复操作能让线段移动扫过的面积任意小。
- **佩龙数**：对三角形反复分割并重叠，总面积可除以m+1；当m趋近无穷大，总面积趋近零。
- **贝西科维奇集合**：利用面积为零的佩龙数，棒完成180度旋转却不扫过任何面积。这个零面积集合也被称为挂谷集合，三维版本进一步追问旋转棒所需的最小体积。

### 挂谷猜想的精确表述与维数工具

挂谷猜想的现代形式要求证明：n维贝西科维奇集合的**豪斯多夫维数**和**明可夫斯基维数**都等于n。豪斯多夫维数用分形自相似性来算，**科克雪花**的维数约为**1.26**，介于线与面之间。这就是为什么问题从“面积”变成“维数”：即使集合面积为0，它仍可能在维数意义上“填满”空间。

### 从二维到三维：2025年王虹与张尔解决三维情形

- **1971年**戴维斯解决二维情形。
- **1995年**沃尔夫证明三维情形的维数至少为2.5。
- **1999年**陶哲轩把三维下界推进了10亿分之一。
- **2025年**王虹与张尔证明三维贝西科维奇集合的两个维数均为3，解决三维挂谷猜想。

王虹有望成为首位获菲尔兹奖的中国籍数学家。

## Key points

- 1917年挂谷东一提出单位线段旋转180度的最小扫过面积问题；挂谷本人用内摆线构造将面积降至π/8，但贝西科维奇1928年证明面积可无限小。
- 鲍尔平移通过“先转小角度、平移、再转回、再平移”，使线段移动扫过的面积任意小。
- 佩龙数对三角形反复分割并重叠，总面积可趋近于零，并让棒转动180度而不扫过面积，形成贝西科维奇集合。
- 挂谷猜想的严谨表述是：n维贝西科维奇集合的豪斯多夫维数和明可夫斯基维数都为n。
- 2025年王虹与张尔证明了三维贝西科维奇集合的两个维数均为3，解决了三维挂谷猜想，王虹有望冲击菲尔兹奖。

## Chapters

- [0:00](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=0) 挂谷问题引入
- [6:44](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=404) 内摆线法
- [9:37](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=577) 面积可无限小
- [16:02](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=962) 佩龙数构造
- [19:44](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=1184) 挂谷猜想定义
- [25:34](https://dailymemora.com/bilibili/876?t=1534) 证明与菲尔兹奖

## Transcript

**[0:00]** 各位同学大家好，我是李勇的老师。

**[0:02]** 最近呢，数学圈有个大新闻，困扰数学界一百年之久的三维空间挂谷猜想，可能被北大校友九零后的王虹证明了。

**[0:11]** 如果她的论文通过了同行评议，那么王虹极有可能获得二零二六年的数学最高奖菲尔兹奖，这将实现中国人在菲尔兹奖上零的突破。

**[0:21]** 许多小朋友给我发来私信问，挂谷猜想到底是什么呢？

**[0:24]** 这个问题啊，理解起来比较复杂，让我们从挂谷问题说起吧。

**[0:29]** 首先呢，我们先来说一说什么是挂谷问题。

**[0:33]** 挂谷问题啊，什么是一个好的数学问题呢？

**[0:40]** 一个好的数学问题啊，应该吸引很多人去研究，从而创造出新的方法、新的理论，甚至呢，能够开拓出全新的领域。

**[0:49]** 而且呢，这个问题最好是描述起来呢，非常非常的简单，但是解决起来却异常的困难。

**[0:55]** 比如说啊，费马大定理就是一个好的数学问题，而挂谷问题呢，是和费马大定理非常非常类似的。

**[1:01]** 这个问题啊，是一九一七年日本数学家挂谷东一提出的。

**[1:05]** 他说呀，有一位武士在上厕所的时候呢，遭到敌人的袭击，矢箭如雨。

**[1:10]** 而他呢，只有一根短棒。

**[1:12]** 为了挡住射击啊，他需要将这根棒旋转一周，也就是转三百六十度。

**[1:16]** 但是呢，厕所很小，因此啊，在转动短棒的时候，应当尽量的是短棒扫过的面积尽可能的小。

**[1:23]** 那么，请问最小的面积可以小到多少呢？

**[1:26]** 如果换成数学语言就是，如何将一个长度为一的线段转过一百八十度，使得这个线段扫过的面积为最小？

**[1:34]** 这里啊，转过一百八十度和转过三百六十度其实没有什么本质区别，因为你两次转过一百八十度就是三百六十度了。

**[1:41]** 那么，让我们一步一步的去解决这个问题。

**[1:44]** 首先呢，如果一个普通人拿到这个问题，他自然会想到，那干脆这样啊，比如说有一个短棒，是吧？

**[1:50]** 这个短棒呢，我绕着一端，比如说这这一端是O点，我绕着O点呢，让它转一百八十度，我让它从向上的转到向下的，

**[1:59]** 对吧？

**[2:00]** 那这样一来呢，你就会转过一个什么呀？

**[2:02]** 半圆，对不对？

**[2:04]** 你的面积就是这个半圆的面积。

**[2:06]** 半圆面积有多大？

**[2:06]** 很简单，半圆面积是二分之一的派乘以r方，这个r呢就是这个短棒的长度，也就是一嘛。

**[2:14]** 派乘以一的平方，也就大约等于一点五七啊。

**[2:19]** 那这个面积呢显而易见，它不是特别小。

**[2:22]** 能不能小一点呢？

**[2:24]** 啊，聪明的小朋友可能会想到，那这样吧，你这个棒，比如说本来是这个样子的嘛，我以中间这个点为轴。

**[2:32]** 让它旋转一百八十度。

**[2:34]** 这样一来呢，你这底下啊就跑到顶上去了，而你这个顶上呢就跑到底下来了，你就会转出一个圆圈来。

**[2:42]** 对不对？

**[2:42]** 这个圆的面积有多大呢？

**[2:44]** 很好算，等于派乘以r方，因为短棒的长度变成直径了，所以半径呢应该是二分之一，二分之一的平方。

**[2:53]** 也就等于四分之一派，大约呀是零点七八五。

**[2:59]** 大家看，这个数就比刚才呢要小很多了，对不对？

**[3:03]** 好，咱们继续想，还有什么别的办法吗？

**[3:05]** 那么有的数学家想到了这样一个办法，他说呀，你可以在一个三角形内部去转啊，什么意思呢？

**[3:11]** 比如说呀，这是一个三角形，这三角形呢是个正三角形，而且这个正三角形的高正好就是一啊。

**[3:20]** 它的高度正好就是一。

**[3:21]** 然后呢，你怎么让去旋转你这个棒呢？

**[3:25]** 你这么转，最开始的时候吧，你让这个棒呢啊，这三角形呢，边三个点分别是A、B、C啊，你先让这个棒啊顺着A、

**[3:33]** B的方向画，我画个箭头表示它的方向啊。

**[3:37]** 然后呢，你让这个棒呢沿着A、B的方向以A为轴转到A、C的方向，就是你呢以A为轴让它旋转、

**[3:47]** 旋转、旋转、旋转，然后转转转转到这边来，对吧？

**[3:50]** 然后你就能够变成了A、C方向了，对吧？

**[3:54]** 就这样了啊，你从A、B的方向转到A、C的方向，这样你会扫过一个面积，扫过这个面积，对吧？

**[4:01]** 扫过这个面积，好，第一步你就完成了。

**[4:03]** 第二步你干什么呢？

**[4:04]** 第二步啊，你让这个棒沿着A、C的边从A、C哎走到底下这一段啊，也就是说你本来不是靠着A点吗？

**[4:13]** 现在呢你往下串一串，你往下串一串，你串到底下来，跑到这个位置来，哎，跑到这个位置来。

**[4:20]** 大家看，在这个过程中，你只是沿着自己这条线平移，那你沿着这条线平移的时候，实际上是不会产生面积的，

**[4:28]** 对吧？

**[4:28]** 所以第二步它不产生面积。

**[4:30]** 然后第三步干什么呢？

**[4:32]** 你再让这个棒以C为轴再转到底下来，你让这个棒呢以C为轴转转转转转转转到底下来，

**[4:40]** 哎，就转到了这个位置了，是吧？

**[4:43]** 这样来呢，你又扫过了一个面积，扫过了这个面积，是吧？

**[4:48]** 下一步干什么？

**[4:49]** 下一步再把这个棒往左边串一串，串到B这个点来啊，这一个三角形，一个三角形A、

**[4:56]** B、C，然后呢，你让它串串到左边来，串到左边来，串到左边。

**[5:03]** 然后呢，你再以B为轴继续旋转，旋转到A、B的方向，也就是这样转转转转转转到啊，

**[5:11]** 然后转到A、B的方向上啊，这样你又扫过了一个面积。

**[5:16]** 那最后一步是干什么呢？

**[5:17]** 你原来呢是在这边的，现在你跑这边来了，你再把它呀串回到A点去。

**[5:23]** 大家看，最后一步完成了之后，你是不是正好旋转了一百八十度啊？

**[5:28]** 你旋转了一百八十度之后呢，你扫过的三个扇形，但是你不要忘了，这三个扇形它是重叠到一块儿的，

**[5:34]** 所以事实上你所扫过的面积仅仅有一个三角形的面积，对吧？

**[5:39]** 因为你虽然扫过了三个扇形，但是三个扇形大部分是重叠的，所以你实际上只扫过了一个三角形的面积。

**[5:46]** 而这个三角形它的面积有多大呢？

**[5:48]** 我们刚才说过，这个三角形的高是一，对吧？

**[5:52]** 根据三角形的知识很容易算，它的底边是多少啊？

**[5:55]** 这个高是一，这应该是三分之根号三吧，所以底边的长度应该是三分之二倍。

**[6:02]** 根号三，是吧？

**[6:03]** 所以这种情况下呢，你所扫过的面积 S 其实是二分之一的，一三分之二倍根号三，

**[6:11]** 再乘以高一，所以结果是三分之根号三，大约是零点五七七。

**[6:19]** 大家看这个数是不是更小了啊？

**[6:22]** 那么这种情况下是不是最小的呢？

**[6:24]** 匈牙利有一位数学家，名字叫做鲍尔，鲍尔呢就证明了，如果你所扫过的面积是一个凸的形状啊，

**[6:32]** 是一个凸的形状，而不是凹的形状，你是一个凸的形状，那么啊零点五七七这个数它就是最小的面积了，

**[6:39]** 你就是在一个正三角形里边去扫，那么它的这个扫过的面积就是最小。

**[6:44]** 但是如果我并不要求你扫过的面积是一个凸的形状，你可以是凹的，那么情况还可以更小吗？

**[6:50]** 还可以更小。

**[6:51]** 你比如说，挂骨本人呢，他就想到了一个办法，啊，这个办法呢就叫做内摆线。

**[6:59]** 内摆线，什么是内摆线呢？

**[7:04]** 就是假如这里有一个圆形，然后呢我再画一个小圆，小圆呢我让它贴着这个大圆，

**[7:14]** 然后我让这个小圆啊在这个大圆的内部无滑动的滚动啊，让这个小圆在大圆的内部无滑动的滚动，

**[7:22]** 小圆的边缘上有一个点，那么这个点所滑过的轨迹就是一条内摆线啊。

**[7:30]** 我们知道平面上的摆线就是一个车轮在直线上滚动造成的，那现在呢是内摆线，就是一个小圆在一个大圆内部滚动造成的。

**[7:39]** 而且呢我们还可以设计一种特殊情况，什么情况呢？

**[7:42]** 我让这个小圆的直径呢是二分之一，而大圆的直径呢是二分之三，然后让你去滚，

**[7:50]** 你就会正好滚出一个这样的形状来，啊，就会滚出一个这样的形状，

**[7:57]** 滚出一个这样的形状。

**[7:59]** 这个形状有什么样的特点呢？

**[8:01]** 这个形状特点是第一个啊，它任意点的切线，任意的切线长都为一，

**[8:12]** 任意的切线长都为一，也就是说啊，你从这儿到这儿画一条切线，它长度是一啊，你从这儿到这儿沿着这个边画的切线，

**[8:18]** 它长度也为一，从这到这也是一，是吧？

**[8:21]** 就是每一个这个切线长度都是一。

**[8:24]** 然后呢，你就可以让这个棒沿着这条切线去转了。

**[8:28]** 大家看啊，我首先呢让这个棒处于这个位置，向上的这个位置，然后呢我让你沿着这个切线转，

**[8:35]** 你比如说啊，这个上面呢往左边转，下面呢往右边转，然后你就转转转转转转转，哎，转到这儿来了，

**[8:43]** 你就会变成这样的一个情况，是吧？

**[8:46]** 变成这样一个情况之后，你继续走走走走走走，哎，你就会变成这样的一个形状，是吧？

**[8:53]** 然后你再继续走走走走走，你看你是不是到这儿来了？

**[8:57]** 是不是？

**[8:58]** 咱们再说一遍啊，就是你本来是这个样子的，对吧？

**[9:00]** 然后你就走走走走这儿，你就斜过来了。

**[9:03]** 你再走走走走这儿，你就倒过来了，是吧？

**[9:06]** 你再走走走，你正好就转一百八十度。

**[9:09]** 所以啊，如果他能够画出这么一个图形来，那么任意切线的长度都为一，我们就可以扫过这中间的一个形状。

**[9:17]** 最后呢，实现旋转一百八十度的效果。

**[9:20]** 而中间的这个形状，它的面积有多大呢？

**[9:22]** 在数学上可以证明，这个面积呢是八分之一派，大约呀是零点三九二。

**[9:31]** 这个呢，就是华国本人对这个问题的回答。

**[9:34]** 他觉得这个面积就已经是最小了，没有比它更小了。

**[9:37]** 那但是事实上这个问题的答案呢，并不是这个。

**[9:40]** 一九二八年的时候啊，俄罗斯有位数学家，名字叫贝西科维奇。

**[9:49]** 贝西科维奇，那么他呢对这个问题做出了回答，就是到底多小的面积可以让这个棒转一百八十度呢？

**[9:58]** 这个面积啊，可以无限小。

**[10:02]** 面积可以无限小。

**[10:05]** 什么叫无限小啊？

**[10:06]** 就是趋近于零啊。

**[10:08]** 面积呢可以接近为零，是吧？

**[10:11]** 那么他是怎么做出这个问题的呢？

**[10:13]** 我们首先呢要介绍一个叫做鲍尔平移。

**[10:18]** 还记得这个鲍尔吗？

**[10:20]** 刚才我们说过，鲍尔证明了，如果是一个凸的形状，那么正三角形就是最优的，是吧？

**[10:27]** 那鲍尔呢还提出了一种鲍尔平移。

**[10:29]** 什么叫鲍尔平移呢？

**[10:31]** 你看啊，假如吧，你有这么一根线，这个线段，我要把这个线段呢挪到旁边儿的这个位置，挪到这个位置上，

**[10:39]** 是吧？

**[10:40]** 如果你直接平移过来的话，那么你就会扫过一个面积。

**[10:44]** 那扫过的这个面积呢，就是这啊，就这个面积。

**[10:48]** 这个面积很大。

**[10:50]** 那么怎么样才能让这个面积变小一点呢？

**[10:52]** 鲍尔想出了这么一个办法。

**[10:54]** 他说呀，你这么移动，这不是原来那根线段吗？

**[10:57]** 你不是要移到这个位置吗？

**[10:58]** 对吧？

**[10:59]** 你这么办？

**[10:59]** 你呢？

**[11:00]** 首先呢，把这根线段吧，你让它以底下为轴，你让它转，转一个角度。

**[11:06]** 这个角度呢叫德尔塔西塔，转一个角度。

**[11:10]** 转完了之后，你不就扫过了这样一个面积吗？

**[11:12]** 然后呢，你让它沿着自己转完之后的方向往前走，往前走，走走走，一直走到跟另外一条线它相交，

**[11:22]** 是吧？

**[11:22]** 你让它走到这个位置，走到这个位置，走到这个位置之后干什么呢？

**[11:28]** 你啊，再把它移回来，再转回来。

**[11:30]** 所以你又要转一个德尔塔西塔，而转回到这个方向，是吧？

**[11:34]** 所以呢，你就又扫过了一个面积啊，还是一个扇形，对吧？

**[11:39]** 转回来之后呢，你再把它挪回去。

**[11:42]** 注意挪回去这个操作和平移上来这个操作都是不产生面积的。

**[11:47]** 所以如果你先转再移再转再移这么操作的话，你实际上扫过的面积只有两个扇形。

**[11:53]** 对吧？

**[11:54]** 啊，你先转扫过一个扇形，然后平移，平移了之后不产不产生面积，然后再转，你又扫过一个扇形，

**[11:59]** 然后你再往回移，是吧？

**[12:00]** 你只扫过了两个扇形，那么你扫过的这两个扇形，它的面积有多大呢？

**[12:05]** 啊，这个面积等于二分之一乘以啊扇形面积公式，圆心角乘以半径的平方，所以是德尔塔西塔再乘以半径，

**[12:14]** 半径就是一嘛，一的平方。

**[12:16]** 那你扫过了两个扇形，所以我还得乘以二，乘完了之后，最后结论就是德尔塔西塔，是吧？

**[12:21]** 所以扫过的面积有多大，取决于你这个角度有多大。

**[12:25]** 你的角度越小，你扫过的面积就越小。

**[12:27]** 那假如还是你扫的是无限小的一个角度，那么你所扫过的面积是不是就是无限小？

**[12:32]** 所以它可以趋近于零。

**[12:35]** 鲍尔平移告诉我们一个非常神奇的结论，就是一个线段移动到另外一个线段，如果是平移的话啊，

**[12:42]** 它可以不扫过任何面积。

**[12:44]** 啊，为什么呢？

**[12:45]** 因为它可以先转一个很小的角度，然后再沿着这条线移动，然后再转回来，再平移过来，这样一来呢，

**[12:50]** 它就不产生任何面积，是吧？

**[12:52]** 你只要移动的转过的这个角度足够小，哎，这就可以了。

**[12:55]** 好，这是我们第一个结论啊，就是鲍尔平移的时候扫过的面积可以是零。

**[13:00]** 那么第二个结论呢，叫做佩龙数。

**[13:04]** 佩龙数啊，是佩龙这位数学家他呢对于这个贝西克维奇做的这个结构的一个简化。

**[13:12]** 那现在呢，我们一般都去讲这个佩龙数啊，而不去讲贝西克维奇最开始的这种设想。

**[13:17]** 这个佩龙数是什么意思呢？

**[13:18]** 他说吧，你看，假如啊你有一个，比如说正三角形，是吧？

**[13:24]** 这个正三角形呢高为一，然后呢你想把这个原来的这样的一个棒，本来是沿着AB方向的，

**[13:33]** 是吧？

**[13:33]** 你想转到AC方向，我们刚才说呢，就是你直接沿着手转就可以了，你就这么转。

**[13:39]** 你这么转的话呢，你扫过的面积就比较大，是吧？

**[13:42]** 扫过的面积比较大。

**[13:43]** 他说你怎么才能让它扫过的面积小一点呢？

**[13:46]** 你这么办？

**[13:47]** 你看，把中间切一刀，垂线切一刀，这个点叫D。

**[13:52]** 切完了之后呢，你先把这个ABD画出来，这是A，这是B，这是D，

**[13:59]** 你画出来。

**[14:00]** 画出来了之后呢，你再把ACD也画出来，但是你让ABD和ACD啊，你让它重叠一下，

**[14:08]** 它呢重叠了一部分，具体多大咱一会儿再说。

**[14:12]** 重叠的一部分，这个叫A一，这个叫D一，这个叫C。

**[14:17]** 重叠的一部分，然后你具体怎么做呢？

**[14:19]** 你这么做，你首先吧本来你不是在AB这条线上吗？

**[14:23]** 对吧？

**[14:23]** 然后你让它转到AD上啊。

**[14:25]** 首先你从AB这条线转到AD，那么你转的过程之中呢，你从AB这条线转到了AD这条线，

**[14:35]** 你是不就扫过了一个扇形的面积啊？

**[14:39]** 对吧？

**[14:39]** 这个是要扫过一个面积的啊，是需要一个面积叫德尔塔S的。

**[14:43]** 但是你转到AD这条线之后呢，你可以把这个棒从AD呢，你平移到AED一啊，你再平移到AED一。

**[14:53]** A一D一，你在平移的时候，根据我们刚才说的这个布尔平移，你实际上是不需要扫过面积的。

**[14:59]** 对不对？

**[15:00]** 所以你从A D移到A一D一，你不需要扫过面积。

**[15:03]** 然后呢，你移到A一D一之后，你干什么？

**[15:06]** 你现在在这儿了，对吧？

**[15:07]** 你再沿着A一点再转，你再转，哎，你这回转到A一C这个方向，转到A一C这个方向之后，

**[15:15]** 你会发现，你又扫过了一个面积，等于S，啊，你扫过了两个等于S。

**[15:21]** 然后你会发现呢，这两个等于S它有重叠的部分，所以你虽然呢扫过的面积看起来好像跟刚才一样，

**[15:28]** 但是这两个面积它重叠了，所以你实际上扫过的面积就小了一点，对吧？

**[15:33]** 大家听明白了吗？

**[15:34]** 就是你本来呢是在A B方向，然后你先转到A D方向，这样你就扫过了一个扇形，然后你从A D呢转移到A一D一，

**[15:42]** 转移到A一D的时候，它不会扫过面积，然后你再从A一D一呢再转到A一C，你转的过程中它又会扫过一个面积，

**[15:49]** 虽然你还是扫过了两个扇形，但这两个扇形是有重叠的，在有重叠的情况下，你就会发现它的总面积缩小了。

**[15:58]** 这个呢就是配容数的一个基本的啊这个原则。

**[16:02]** 那么我们具体来说一下该怎么样操作。

**[16:05]** 好，黑板擦完了，我们具体来说一下这个操作的过程啊。

**[16:08]** 这个过程呢比较的繁琐，我争取能够把这个事儿说明白啊。

**[16:14]** 这有一个三角形A B C，然后呢我们具体怎么分割呢？

**[16:19]** 首先呢我们先将B C分成二的m次方份，

**[16:29]** 比如说以m等于二为例，我就分四份啊，分四份分别是第一、第二、第三和第四，然后我们做个连线，

**[16:38]** 这样我就把刚才的三角形呢分成了四个小三角形。

**[16:42]** 分成了四个小三角形之后，我们再做B C的平行线，B C的平行线，

**[16:49]** 我们做几条呢？

**[16:50]** 做m加一条，做m加一条啊，也就是说我们呢做，比如说我m等于二吧，

**[16:58]** 那我就做三条平行线啊，我们做一条平行线、两条平行线、三条平行线，我们把它均分了啊，

**[17:06]** 一共是三条平行线啊。

**[17:09]** 然后我们要做一个叫做重叠的操作啊，我们做一个重叠的操作。

**[17:16]** 这个重叠的操作呀比较的复杂，我简单的解释一下，就是首先呢你让A B D一这个三角形和A D一D二这个三角形

**[17:28]** 重叠，那么在重叠的时候呢，保证它们的第二条线段重合到一块，然后你再让A D二D三和A D三C重叠到一块，

**[17:39]** 也保证它们的第二条线重叠，这样呢就形成了两颗小数，它形成了两颗小数。

**[17:46]** 然后呢再让这两颗小数继续往前重叠，在继续重叠的时候呢，你让这个啊。

**[17:53]** A第一、第二和A第二、第三的第三条线段重叠到一起，这样一来呢，就形成了一个大数。

**[18:01]** 就这样一直重叠下去，最后你就可以把这些个三角形都叠到一块了，都叠到一块之后，就形成了一个非常复杂的结构，

**[18:09]** 这个结构就叫做佩龙数啊。

**[18:11]** 这个佩龙数啊，它的面积有多大呢？

**[18:15]** 我们可以证明啊，这个证明过程我们就不说了。

**[18:18]** 可以证明啊，如果你把它反复重叠到一起的话，那么这个佩龙数的面积S等于什么呢？

**[18:24]** 等于BC的长度再除以一个m加一啊，等于这个长度。

**[18:31]** 如果说啊，因为这个三角形高度是一嘛，这个是已经确定的，那么BC的长度呢？

**[18:36]** 如果我们知道了，我再把它除以m加一，就是这个佩龙数的面积。

**[18:41]** 这个佩龙数的面积是除以m加一的，那我们完全可以把这个m取到无穷大。

**[18:46]** 如果m取到无穷大的话，那么这S就可以趋近于几？

**[18:50]** 可以趋近于零，对吧？

**[18:51]** 所以我们就实现了一个面积为零的佩龙数。

**[18:55]** 那么我们得到了这个面积为零的佩龙数之后，我们怎么样能让这个棒实现转动呢？

**[19:00]** 方法很简单，就是不停的旋转、平移、再旋转、再平移、再旋转、再平移，对吧？

**[19:06]** 这样一来呢，我们所扫过的面积就只有这么一个佩龙数了。

**[19:10]** 而佩龙数的面积又可以为零，所以我们就说啊，我们实现了面积为零的转过一百八十度角这样的一个操作。

**[19:18]** 那么这个佩龙数所占的这些个空间点构成一个集合，这个集合呀，我们管它叫贝西科维奇集合，

**[19:28]** 贝西科维奇集合，或者呢，我们也可以管它叫做挂骨集合啊。

**[19:36]** 挂骨集合。

**[19:38]** 挂骨集合就是能使这个棒啊转到任意方向时，它所包含的空间点的集合。

**[19:44]** 刚才呀，我们讨论的一直是二维情况，其实你也可以讨论三维的情况啊。

**[19:48]** 也就是说，如果你这个棒可以在空间中任意的旋转，那么你所走过的体积最小是多大？

**[19:54]** 那这个就是三维的挂骨问题。

**[19:56]** 开始的时候，人们研究的是这个挂骨集的面积啊、体积这些性质。

**[20:00]** 后来人们逐渐转到了什么呢？

**[20:02]** 这个挂骨集的维度啊，这样一来呢，就出现了挂骨猜想啊，第三个问题，挂骨猜想。

**[20:10]** 什么叫挂骨猜想呢？

**[20:13]** 刚才呀，我们已经说到了贝西科维奇集合，就是能够使它实现啊三百六十度或者一百八十度转动它的最小的点的集合啊，

**[20:22]** 叫做这个贝西科维奇集或者是挂骨集。

**[20:25]** 人们发现呢，这个集合是一个非常特殊的结构。

**[20:28]** 那么它的维度到底是多少呢？

**[20:30]** 我们已经找到了二维空间的贝西科维奇集合啊，我们也可以找到三维空间、四维空间、五维空间这些贝西科维奇集合。

**[20:39]** 那么这些个集合它的维度是多少呢？

**[20:42]** 这就构成了挂骨猜想。

**[20:44]** 挂骨猜想内容是说呀，在n维的贝西科维奇集合或者卦古集合，

**[20:52]** 那么它的豪斯多夫维数、豪斯多夫维数还有明可夫斯基维数啊

**[21:04]** ，明可夫斯基维数都为n，

**[21:13]** 都为n啊。

**[21:14]** 有同学说什么乱七八糟的，是吧？

**[21:16]** 首先我们先说n维贝西科维奇集合，大家应该明白了啊。

**[21:20]** 二维贝西科维奇集合就是在平面内转，三维呢就是在空间中随便转啊，四维就是在四维空间中随便转，

**[21:26]** 是吧？

**[21:27]** 那么这个集合是一个非常特殊的图形，这个特殊图形它的豪斯多夫维数和明可夫斯基维数具体是多少？

**[21:34]** 咱们想研究它。

**[21:35]** 至于说什么是豪斯多夫维数或者是明可夫斯基维数，这又是非常复杂的问题。

**[21:40]** 我们呢为了简单起见，就只介绍一个豪斯多夫维数了。

**[21:43]** 这个豪斯多夫维数我们以前讲这个分形几何的时候呢曾经讲过，这里呢我们再来简要的回顾一下啊。

**[21:49]** 豪斯多夫维数是这么个概念啊，豪斯豪斯多夫维数，

**[22:00]** 豪斯多夫维数啊是分形几何里边经常用的一种维数的算法啊。

**[22:05]** 我们知道分形几何它具有自相似性啊，这个每一个图形呢它可以由n个小图形组成，

**[22:13]** 图形由n个四相似的小图形组成，相似的小图组成啊。

**[22:25]** 如果一个图形是由n个相似的小图组成，而且呢相似比相似比是1比m，

**[22:34]** 那么我们就可以说豪斯多夫维数等于log以m为底n的对数啊。

**[22:42]** 图形由n个相似的小图组成，而相似比呢是1比m，那么豪斯多夫维数就是log m n啊。

**[22:49]** 我们举几个例子，好，黑板擦完了，我们举几个例子啊。

**[22:52]** 比如说啊一个正方形，我问你它的豪斯多夫维数是多少？

**[22:56]** 怎么做呢？

**[22:57]** 我们呢可以把它切割啊切割成四个小正方形，四个小正方形都跟原来的正方形相似，

**[23:04]** 对不对？

**[23:05]** 所以呢n就等于四，就四个小的可以组成一个大，而相似比呢一个小的和一个大的它的边长之比是1比2，

**[23:13]** 所以m呢等于2。

**[23:15]** 那这样一来呢我们就知道它的豪斯多夫维数是log以2为底4的对数，结果就是2。

**[23:22]** 那我们就知道了正方形豪斯多夫维数呢就是2，对吧？

**[23:25]** 那如果是个立方体呢？

**[23:27]** 我们再看这个立方体啊，这立方体我们如果进行切割，我们可以切割成几块？

**[23:35]** 我们是不是可以把它切割成八块啊？

**[23:37]** 所以n呢就等于八，每一小块都跟大的相似，并且相似比还是1比2。

**[23:44]** 那这样一来它的豪斯多夫维数d就是log以二为底八的对数，

**[23:50]** 结果呢就是三。

**[23:52]** 但是并不是说所有的豪斯多夫维数都是整数，分形结构可以是分数。

**[23:57]** 你比如说啊，有一种著名的分形结构叫科克雪花，是吧？

**[24:01]** 这科克雪花是这么做的：首先呢，你有一个线段，然后你把这个线段分成三份儿，分成三份儿之后呢，

**[24:08]** 你把中间这一份儿去掉，然后呢让它鼓起来，让它鼓起来，形成这样的一个结构。

**[24:15]** 然后你再把每一小段再分三份儿，让每一小段也鼓起来，每一小段都鼓起来啊，这样让它鼓起来，

**[24:23]** 这样再鼓起来，然后你再把每一小段再样的分三份儿鼓起来，如此这般，形成了一个雪花形状的结构啊，

**[24:30]** 就所谓的科克雪花。

**[24:31]** 那有这样的一个结构之后，你告诉我这个结构它的豪斯多夫维数是多少呢？

**[24:36]** 首先你说有几个小图形可以组成一个大图形呢？

**[24:39]** 是不是有一二三四，对吧？

**[24:42]** 所以呢，实际上你是分割成了四个。

**[24:45]** 然后 m 多几呢？

**[24:46]** 小图形和大图形的相似比，你看是一比三，对不对？

**[24:51]** 一比三，所以 m 等于三。

**[24:54]** 这样一来，它的豪斯多夫维数是 log 以三为底四的对数，大约是一点二六，是吧？

**[25:01]** 哎，你看这种分形结构，它的豪斯多夫维数呢就是一点二六了。

**[25:05]** 那现在我就想问啊，比如说二维的贝西科维奇集合，比如说这个佩龙数，那么它的豪斯多夫维数是多少呢？

**[25:14]** 啊，虽然它是在二维平面里的，但是它的豪斯多夫维数不一定是二，是不是？

**[25:18]** 那到底是多少呢？

**[25:20]** 有一个猜想，就是二维的贝西科维奇集合，它的豪斯多夫维数以及另外一种我们没有讲的名可布斯基维数，

**[25:27]** 哎，都是二。

**[25:28]** 三维的贝西科维奇集合，那就都是三；四维的就都是四。

**[25:32]** 这个呢，就称之为是瓜古猜想。

**[25:34]** 那么瓜古猜想进展如何呢？

**[25:36]** 在一九七一年的时候，有一个数学家名字叫戴维斯，那么这个戴维斯呢，

**[25:44]** 证明了平面上的贝西科维奇集合它的两个维数啊，

**[25:52]** 豪斯多夫维数和名可布斯基维数都为二，所以二维的问题呢已经解决了。

**[25:58]** 那么转而人们就开始研究三维啊，也就是在一个立体空间中有一个长度为一的棒，你可以让它任意方向，

**[26:06]** 那这个时候呢你需要一个最小的点集，这个最小点集就称为是空间中的或者三维情况下的贝西科维奇集合。

**[26:13]** 那么三维情况下的贝西科维奇集合它的两个维数是多少呢？

**[26:17]** 我们不知道，是吧？

**[26:19]** 那么比较好的一个成果呀，是一九九五年的时候有一个叫沃尔夫的数学家做出的。

**[26:25]** 这个沃尔夫的成果是什么呢？

**[26:27]** 他说呀，在一个 n 维空间中的贝西科维奇集合，或者说瓜古集合，它的豪斯多夫维数啊，

**[26:36]** 它的豪斯多夫维数维数不小于不小于二分之一的 n 加二啊，

**[26:48]** 不小于二分之一 n 加二。

**[26:50]** 呃，如果是三维空间，n 等于三的话。

**[26:53]** 那么这个豪斯多夫维数就大于等于二点五，哎，这是九五年的一个成果，就是说他得到了在一个三维空间中的贝西科维奇集合的豪斯多夫维数至少

**[27:04]** 是二点五，而明可夫斯基维数呢估计也差不多啊，也在二点五这个数附近。

**[27:09]** 然后这事儿呢就一直卡在这儿，没有什么进展，直到一九九九年啊，著名数学家陶哲轩他呢又做出了一个工作，

**[27:16]** 他说呀，在三维空间中啊，在三维空间中这个贝西科维奇集合它的维数至少是多少呢？

**[27:25]** 至少是二点五零零零零零零零一，也就是他把九五年这个沃尔夫的工作推进了零点零零零零零零零一，

**[27:37]** 是吧？

**[27:37]** 推进了这么一点，但就是这么一点，他也发表了一篇非常著名的文章，发表在《数学年刊》上。

**[27:42]** 所以这个工作是非常具有突破性的。

**[27:45]** 那么接着就是在现在了啊，在二零二五年的时候啊，那么王红，北京大学数学系的毕业生，

**[27:54]** 还有他的一个合作者名字叫张尔，他们两个证明了什么呢？

**[27:58]** 就证明了在三维空间中贝西科维奇集合的豪斯多夫维数和明可夫斯基维数都是三，

**[28:07]** 都是三。

**[28:08]** 大家看啊，这个陶哲轩呢只是把这个数啊推进了十亿分之一，哎，就发了一篇非常不错的文章。

**[28:15]** 而现在呢，王红和张尔呢直接证明了在三维空间中的瓜果猜想，所以这个突破呢是非常非常巨大的。

**[28:22]** 王红的新闻呢之所以热度如此之高，是因为呢他已经成为了明年菲尔兹奖最大的热门。

**[28:28]** 菲尔兹奖啊是一个在国际数学联盟的国际数学家大会上颁发的奖项，每四年呢才会评选两到四名有卓越贡献而且年龄不超过四十岁的数学家，

**[28:38]** 他四年才评选一次，而且呢只发给不超过四十岁的科学家，含金量甚至超过诺贝尔奖。

**[28:44]** 一九八二年获奖的丘成桐，二零零六年获奖陶哲轩是唯二获此奖的华人。

**[28:50]** 让我们一起祝福王红，祝福他的论文早日通过同行评议，祝福他真的如愿获得菲尔兹奖。

**[28:55]** 如果果真如此的话，那么他将会成为第一个取得该成就的中国籍数学家，这势必成为中国数学史上的里程碑。

**[29:03]** 大家如果喜欢我的视频，欢迎关注我的账号零度老师。